Normal dağılımdaki bir noktanın, standardize edilmiş dağılımdaki karşılığına z puanı denir. Z puanı, bir noktanın, dağılımın ortalamasından kaç standart sapma uzakta olduğunu belirtir. Bunun için dağılımdaki bir noktanın, ortalamanın ve standart sapmanın bilinmesi gereklidir.
Z puanı formülü:
Popülasyon için z = (X - μ) / σ Örneklem için z = (M - μ) / σ(M) z = Standardize edilmiş bir nokta (Z puanı). X = Normal dağılımdaki bir nokta. μ = Popülasyon ortalaması. σ = Popülasyon standart sapması. M = Örneklem ortalaması. σ(M) = Örneklem ortalamalarının standart sapması.
Normal dağılımdaki noktaların standardize edilerek oluşturulan dağılıma standart normal dağılım denir. Normal dağılım ile standart normal dağılımın şekli aynıdır. Standart dağılımın ortalaması, 0; standart sapması, 1’dir. Z puanı dağılımda negatif, sıfır ve pozitif değer alabilir. Negatif bir z puanı, normal dağılımdaki bir noktanın popülasyon ortalamasından küçük; sıfır z puanı, normal dağılımdaki bir noktanın popülasyon ortalaması ile aynı; pozitif bir z puanı normal dağılımdaki bir noktanın popülasyon ortalamasından büyük olduğunu belirtir.

Görsel: online.stat.psu.edu

μ – σ = -1,
μ = 0,
μ + σ = 1,
eşitliği vardır.
Görsel: mat117.wisconsin.edu
Neden z puanı kullanılıyor?
- Standart normal dağılımdaki bir puanın olasılığı hesaplanabilir.
- Farklı iki ya da daha fazla dağılımın puanları karşılaştırılabilir.
Örnek:
Geliştirilen bir nörol implantın, araç trafiğinde gösterilen reflekslere etkisi ölçülmek istenmektedir. 100 puan üzerinden değerlendirilen refleks ölçüm testinde popülasyon ortalaması, 80; standart sapması ise 20’dir. Bu popülasyondan 65 yaş ve üstü 25 kişiden oluşan bir örneklem seçilmiştir. Nöral implant sonrası refleks ölçüm testinde örneklem ortlaması 92’dir.
H0: Nöral implant kullanımının refleksler üzerinde bir etkisi yoktur (μ = 80).
H1: Nöral implant kullanımının refleksler üzerinde bir etkisi vardır (μ ≠ 80).
Alfa düzeyi: 0.05, çift kuyruk (-1.96 ve +1.96).
σ(M) = 20 / √25 = 4 z = (92 - 80) / 4 = 3.00
Z puanı (3.00), kritik bölgede olduğundan H0 hipotezi reddedilir.